Question

10．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ，則四邊形ABCD周長的取值范圍為（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得$\sqrt{3}$cosβsinα=sinαsinβ，進而可求tan$β=\sqrt{3}$，結(jié)合范圍β∈（0，π），可求$β=\frac{π}{3}$，根據(jù)題意，∠BAD=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可求CB+CD≤2$\sqrt{7}$，利用兩邊之和大于第三邊可求CB+CD＞$\sqrt{7}$，即可得解四邊形ABCD的周長的取值范圍．

解答 解：∵$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin∠BDC=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$（cosβsinα+cosαsinβ）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$cosβsinα=sinαsinβ，
∴tan$β=\sqrt{3}$，
又∵β∈（0，π），
∴$β=\frac{π}{3}$，
根據(jù)題意，∠BAD=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=4+1-2×2×1×cos$\frac{2π}{3}$=7，
又∵BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosβ=（CB+CD）²-3CB•CD≥（CB+CD）²-$\frac{3（CB+CD）^{2}}{4}$=$\frac{（CB+CD）^{2}}{4}$，
∴CB+CD≤2$\sqrt{7}$，
又∵CB+CD＞$\sqrt{7}$，
∴四邊形ABCD的周長AB+CB+CD+DA的取值范圍為：（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．
故答案為：（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用和解三角形的基本知識以及運算求解能力，屬于中檔題．