Question

設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅱ）對任意的實(shí)數(shù)，證明 :（是的導(dǎo)函數(shù)）；

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

本試題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，以及二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的問題，和運(yùn)用函數(shù)的思想解決不等式的恒成立問題的綜合運(yùn)用。
(1)中，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)取決于冪指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來得到
（2）中利用均值不等式的思想，表示出
和放縮法的思想得到
（Ⅰ）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)，這項(xiàng)是
（Ⅱ）證法一：因


證法二：
因
而
故只需對和進(jìn)行比較。
令，有 由，得
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，，
從而有，亦即故有恒成立。
所以，原不等式成立。