Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}+m\;-1，x≥0\\ ax+b，x＜0\end{array}\right.$其中m＜-1，對(duì)于任意x₁∈R且x₁≠0，均存在唯一實(shí)數(shù)x₂，使得f（x₂）=f（x₁），且x₁≠x₂，若|f（x）|=f（m）有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （-1，0）
• C． （-2，-1）∪（-1，0）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性和值域結(jié)合函數(shù)性質(zhì)判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性和值域，得出a，b，m的關(guān)系，根據(jù)|f（x）|=f（m）有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知0＜f（m）＜f（0），解出m即可．

解答 解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇m，+∞），
∵對(duì)于任意x₁∈R且x₁≠0，均存在唯一實(shí)數(shù)x₂，使得f（x₂）=f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，值域?yàn)椋╩，+∞），
∴a＜0，b=m．
∵|f（x）|=f（m）有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴0＜f（m）＜-m，又m＜-1，
∴0＜am+b＜-m，即0＜（a+1）m＜-m，
∴-2＜a＜-1．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)圖象的意義，屬于中檔題．