Question

16．已知圓C的圓心在直線x+y+1=0，半徑為5，且圓C經(jīng)過點(diǎn)P（-2，0）和點(diǎn)Q（5，1）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過點(diǎn)A（-3，0）且與圓C相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求出圓心即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件即可求過點(diǎn)A（-3，0）且與圓C相切的切線方程．

解答 解：（1）設(shè)圓C：（x-a）²+（y-b）²=25，點(diǎn)C在直線x+y+1=0上，則有a+b+1=0，圓C經(jīng)過點(diǎn)P（-2，0）和點(diǎn)Q（5，1），即：$\left\{\begin{array}{l}{（-2-a）^2}+{（0-b）^2}=25\\{（5-a）^2}+{（1-b）^2}=25\end{array}\right.$，解得：a=2，b=-3．
所以，圓C：（x-2）²+（y+3）²=25．          …（5分）
（2）①若直線l的斜率不存在，即直線是x=-3，與圓相切，符合題意．…（7分）
②若直線l斜率存在，設(shè)直線l為y=k（x+3），即kx-y+3k=0．
由題意知，圓心C（2，-3）到直線l的距離等于半徑5，即：$\frac{{|{2k+3+3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=5$（9分）
解得$k=\frac{8}{15}$，切線方程是$y=\frac{8}{15}（x+3）$．   …（11分）
所求切線方程是x=-3或$y=\frac{8}{15}（x+3）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程的求解以及直線和圓相切的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．