Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣2x2﹣4x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣2x2﹣4x，

∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，

由f′（x）＞0，得x＜﹣ 或x＞2，

由f′（x）＜0，得﹣ ＜x＜2，

∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，﹣ ），[2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是[﹣ ，2]．

（2）解：由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，

得 ，x2=2，

列表，得：

x	﹣1	（﹣1，﹣ ）	﹣	（﹣ ，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	1	↑		↓	﹣8	↑	16

∴f（x）在[﹣1，4]上的最大值為f（x）max=f（4）=16，最小值為f（x）min=f（2）=﹣8．

【解析】（1）求出f′（x）=3x2﹣4x﹣4，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得 ，x2=2，列表討論能求出f（x）在[﹣1，4]上的最大值和最小值．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．