Question

7．設(shè)F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦點(diǎn)，過F₂的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求△F₁AB的最大值．

Answer 1

分析 由橢圓方程求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為x=ty+$\sqrt{3}$，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{t}^{2}+4}$，代入三角形面積公式后整理，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：由橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a²=4，b²=1，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，則F₂（$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)直線l的方程為x=ty+$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（{t}^{2}+4）{y}^{2}+2\sqrt{3}ty-1=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{t}^{2}+4}$，
∴${S}_{△{F}_{1}AB}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{3}\sqrt{（\frac{-2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{4}{{t}^{2}+4}}$
=$4\sqrt{3}\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{4}+8{t}^{2}+16}}$=$4\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{6+（1+{t}^{2}）+\frac{9}{1+{t}^{2}}}}$$≤4\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{6+2\sqrt{9}}}=2$．
當(dāng)且僅當(dāng)1+t²=3，即$t=±\sqrt{2}$時(shí)，△F₁AB的面積取得最大值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．