Question

15．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的方程為x²+（y-4）²=16在與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）若曲線θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與曲線C₁．C₂交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1可把曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程：x²+（y-2）²=4，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標方程．
（II）把曲線C₂的方程x²+（y-4）²=16化為極坐標方程為：ρ=8sinθ，可得曲線θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與曲線C₁交于A：ρ₁，與曲線C₂交于B點：ρ₂．利用|AB|=|ρ₂-ρ₁|即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），消去參數(shù)α化為普通方程：x²+（y-2）²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標方程：ρ=4sinθ．
（II）曲線C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ．
把曲線C₂的方程x²+（y-4）²=16化為極坐標方程為：ρ=8sinθ，
曲線θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與曲線C₁交于A：ρ₁=$4sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
與曲線C₂交于B點：ρ₂=$8sin\frac{π}{3}$=4$\sqrt{3}$．
∴|AB|=|ρ₂-ρ₁|=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、曲線的交點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．