如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知側面,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=.
(1) 求證:C1B⊥平面ABC;
(2)設 =l(0≤l≤1),且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角  
的大小為30°,試求l的值.

(1)證明見解析;(2)

解析試題分析:(1)利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系,準確寫出相關點的坐標,從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明線面垂直,需證線線垂直,只需要證明直線的方向向量垂直;(3)把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4)空間向量將空間位置關系轉化為向量運算,應用的核心是要充分認識形體特征,建立恰當?shù)淖鴺讼,實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點:一是正確寫出點、向量的坐標,準確運算;二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.
試題解析:1)因為側面,側面,故,
中, 由余弦定理得:
,
所以,   3 分 
,所以,而平面.  5分
(2)由(1)可知,兩兩垂直.以為原點,所在直線為
 軸建立空間直角坐標系.
,,.  7分
所以,所以, 
.設平面的法向量為
則由,得,即,
,則是平面的一個法向量.    10分
側面,是平面的一個法向量,
.
兩邊平方并化簡得,所以=1或(舍去).    12分
考點:(1)證明直線與平面垂直;(2)利用空間向量解決二面角問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

與A(-1,2,3),B(0,0,5)兩點距離相等的點P(x,y,z)的坐標滿足的條件為__________.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,分別是正三棱柱的棱的中點,且棱.
(1)求證:平面;
(2)在棱上是否存在一點,使二面角的大小為,若存在,求的長,若不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.

(1)證明:B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)設點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,正方體的邊長為2,分別為,的中點,在五棱錐中,為棱的中點,平面與棱分別交于,.
(1)求證:
(2)若底面,且,求直線與平面所成角的大小,并求線段的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在直三棱柱中,
。M、N分別是AC和BB1的中點。
(1)求二面角的大小。
(2)證明:在AB上存在一個點Q,使得平面⊥平面,   
并求出的長度。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB=,點M,N分別在線段PA和BD上,BN=BD.
(1)若PM=PA,求證:MN⊥AD;
(2)若二面角M-BD-A的大小為,求線段MN的長度.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

已知A、B、C三點不共線,對平面ABC外一點O,給出下列表達式:
其中x,y是實數(shù),若點M與A、B、C四點共面,則x+y="­­___"     

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

在棱長為1的正四面體ABCD中,E是BC的中點,則 _  ▲   .

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