Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$在x=0處的切線方程為y=x．
（1）求a的值；
（2）若對(duì)任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{1}{k+2x-{x}^{2}}$成立，求k的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=lnf（x）-b的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，試判斷g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的正負(fù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線的方程可得a=1；
（2）由題意可得x²-2x＜k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x在x∈（0，2）恒成立，分別求得左右兩邊函數(shù)的值域，運(yùn)用恒成立思想，即可得到a的范圍；
（3）由題意可得b=lnx-x有兩個(gè)零點(diǎn)，求得y=lnx-x的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，畫出圖象，可得
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，即可得到所求符號(hào)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a（x+1）}{{e}^{x}}$，
在x=0處的切線斜率為$\frac{a}{{e}^{0}}$，
由切線的方程y=x，可得a=1；
（2）由題意可得x²-2x＜k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x在x∈（0，2）恒成立，
由x²-2x=（x-1）²-1∈（-1，0），可得k≥0；
由h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=（x-1）（2+$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$），
可得0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；
1＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增．
即有h（x）在x=1處取得最小值，且為e-1，則k＜e-1．
綜上可得k的范圍是[0，e-1）；
（3）函數(shù)g（x）=lnf（x）-b的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，
即為b=lnx-x有兩個(gè)零點(diǎn)，
y=lnx-x的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＜0，函數(shù)遞減；0＜x＜1時(shí)，y′＞0，函數(shù)遞增．
即有x=1處取得最大值，且為-1．
畫出y=b和y=lnx-x的圖象，
可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，
g（x）=lnx-x-b的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1＜0，
則g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）為負(fù)的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，以及函數(shù)的零點(diǎn)的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．