如圖，已知是長軸為的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，過橢圓中心，且.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
(2)如果橢圓上兩點(diǎn)使直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)使?請給出證明．

(1)(2) 存在實(shí)數(shù)使證明：設(shè)直線的方程為，所以直線的方程為由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
，所以同理
又，所以，所以，即存在實(shí)數(shù)使成立

解析試題分析：(1)以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，橢圓方程可設(shè)為

而為橢圓中心，由對稱性知
又，所以
又，所以
所以為等腰直角三角形，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
將 代入橢圓方程得   則橢圓方程為
(2)由直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設(shè)直線的斜率為，
則直線的斜率為，直線的方程為，
直線的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
     ①
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/57/e/ak9vd.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，所以是方程①的一個(gè)根，于是
  同理
這樣，
又，所以
即.所以，即存在實(shí)數(shù)使.
考點(diǎn)：求橢圓方程及直線與橢圓相交韋達(dá)定理的應(yīng)用
點(diǎn)評：本題對于高二文科學(xué)生有一定的難度，可區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分16分）
已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線．

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于兩點(diǎn)．
①若，求圓的方程；
②若是l上的動(dòng)點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定圓上，并求該定圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△AMN得面積為時(shí)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）

過拋物線焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦叫做拋物線的通徑。如圖，已知拋物線，過其焦點(diǎn)F的直線交拋物線于、 兩點(diǎn)。過、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、.

（1）求出拋物線的通徑，證明和都是定值，并求出這個(gè)定值；
（2）證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

動(dòng)圓經(jīng)過定點(diǎn)，且與直線相切。
（1）求圓心的軌跡方程；
（2）直線過定點(diǎn)與曲線交于、兩點(diǎn)：
①若，求直線的方程；
②若點(diǎn)始終在以為直徑的圓內(nèi)，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.
（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)作直線使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓M的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) ，且焦點(diǎn)在x軸上，若M的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，M的離心率，過M的右焦點(diǎn)F作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交M于A，B兩點(diǎn)。
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)N（t，0）是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（滿分10分）（Ⅰ） 設(shè)橢圓方程的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)M是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證為定值并求出此定值；
（Ⅱ）設(shè)橢圓方程的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)M是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，利用（Ⅰ）的結(jié)論直接寫出的值。（不必寫出推理過程）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本題滿分12分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和m的值．

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同步練習(xí)冊答案