Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n（2n-1）a_n，并且a1=

1

3

，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）判斷前n項(xiàng)和S_n組成的新數(shù)列{S_n}的單調(diào)性，并給出相應(yīng)的證明．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1以及S_n=n（2n-1）a_n，求出數(shù)列的遞推公式，再利用累乘法求通項(xiàng)公式．
（2）先根據(jù)（1）中所求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)S_n=n（2n-1）a_n，求出S_n根據(jù)數(shù)列{S_n}中相鄰兩項(xiàng)與0之間的大小關(guān)系，判斷數(shù)列{S_n}的單調(diào)性，

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）a_n-（n-1）（2n-3）a_n-1，得

an

an-1

=

2n-3

2n+1

∴

a2

a1

a3

a2

a4

a3

a5

a4

…

an-1

an-2

an

an-1

=

1

5

×

3

7

×

5

9

×

7

11

…

2n-5

2n-1

×

2n-3

2n+1

又a1=

1

3

得an=

1

(2n-1)(2n+1)

（2）因?yàn)镾_n=n（2n-1）a_n=

n

2n+1

，Sn+1-Sn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

＞0對(duì)于任意的正整數(shù)都成立，所以S_n+1＞S_n，即前n項(xiàng)和S_n組成的新數(shù)列{S_n}為遞增數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列中a_n與S_n之間的關(guān)系，以及數(shù)列單調(diào)性的證明．