Question

3．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點(diǎn)，AB=2．
（1）求證：BD₁∥平面ACM；
（2）求三棱錐M-ADC的表面積和體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OM，由OM為中位線，利用中位線定理得到BD₁與OM平行，即可得證；
（2）由M為DD₁的中點(diǎn)，求出MD的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出三棱錐M-ADC的表面積和體積即可．

解答 （1）證明：連接BD交AC于O，連接OM，
∵OM為△BDD₁的中位線，
∴BD₁∥OM，
則BD₁∥平面ACM；
（2）解：∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點(diǎn)，AB=2，
∴MD=1，AD=DC=2，且MD⊥AD，MD⊥DC，AD⊥DC，
∴三棱錐M-ADC的表面積為$\frac{1}{2}$×2×1×2+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=4+$\sqrt{6}$；體積為$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×1=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，以及直線與平面平行的判定，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．