Question

13．（1）已知x＞-1，求y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（2）已知3x+4y=12，求xy的最大值．

Answer 1

分析 （1）方法一，分離常數(shù)法，在結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得到答案．方法二：判別式法．
（2）構(gòu)造已知等式關(guān)系，直接利用基本不等式的性質(zhì)即可得到答案．

解答 解：（1）方法一，分離常數(shù)法，
∵x＞-1，
∴x+1＞0，
那么：$y=\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}=\frac{{{{（x+1）}^2}+5（x+1）+4}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}+5≥2\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}+5=9$．
當(dāng)且僅當(dāng)$x+1=\frac{4}{x+1}$．即x=1時(shí)，取等號(hào)成立．
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值為9．
方法二：判別式法．
解：（1）由y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$
⇒y（x+1）=x²+7x+10
⇒x²+（7-y）x+10-y=0
方程有解：△≥0，即：（7-y）²-4（10-y）≥0
解得：y≥9或y≤1
又∵x＞-1，∴x+1＞0，x²+7x+10＞0
所以y＞0
故當(dāng)x＞-1時(shí)，y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值為9．此時(shí)x=1．
（2）方法一：構(gòu)造基本不等式
∵3x+4y=12．要求xy的最大值，xy必須同號(hào)．
∴$xy=\frac{1}{12}（3x）•（4y）≤\frac{1}{12}{（\frac{3x+4y}{2}）^2}=3$．
當(dāng)且僅當(dāng)3x=4y=6．即$x=2，y=\frac{3}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
故：xy取最大值為3．此時(shí)$x=2，y=\frac{3}{2}$．
方法二：消元法
∵3x+4y=12．那么：y=3-$\frac{3}{4}x$．
則xy=x（3-$\frac{3}{4}x$）=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x$
令u=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x$
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x=2時(shí)，u取得最大值，即最大值為3．
∵y=3-$\frac{3}{4}x$，
解得：y=$\frac{3}{2}$
故：xy取最大值為3．此時(shí)$x=2，y=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式性質(zhì)的靈活應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．