Question

（2013•徐州模擬）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，右焦點(diǎn)為F，且橢圓E上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)A的直線l與橢圓E及直線x=8分別相交于點(diǎn)M，N．
（�。┊�(dāng)過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓半徑最小時，求這個圓的方程；
（ⅱ）若cos∠AMB=-

65

65

，求△ABM的面積．

Answer 1

分析：（1）由離心率為

1

2

，橢圓E上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值為2，即a-c=2聯(lián)立方程組求a，c的值，然后利用b²=a²-c²求出b²，則橢圓方程可求；
（2）（ⅰ）設(shè)出圓的一般方程，設(shè)N（8，t），把三點(diǎn)A（-4，0），F(xiàn)（2，0），N（8，t）代入圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)式后利用基本不等式求出半徑的最小值，同時求得半徑最小時的圓的方程；
（ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由cos∠AMB=-

65

65

，借助于向量數(shù)量積求出直線的斜率，進(jìn)一步得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則△ABM的面積可求．

解答：解：（1）由已知，

c

a

=

1

2

，且a-c=2，所以a=4，c=2，所以b²=a²-c²=12，
所以橢圓E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）（�。┯桑�1），A（-4，0），F(xiàn)（2，0），設(shè)N（8，t）．
設(shè)圓的方程為x²+y²+dx+ey+f=0，將點(diǎn)A，F(xiàn)，N的坐標(biāo)代入，得

16-4d+f=0 4+2d+f=0 64+t2+8t+et+f=0

，解得

d=2 e=-t- 72 t f=-8

．
所以圓的方程為x2+y2+2x-(t+

72

t

)y-8=0，
即(x+1)2+[y-

1

2

(t+

72

t

)]2=9+

1

4

(t+

72

t

)2，
因?yàn)?span id="rluyw5r" class="MathJye">(t+

72

t

)2≥(2

72

)2，當(dāng)且僅當(dāng)t+

72

t

=±12

2

時，圓的半徑最小，
故所求圓的方程為x2+y2+2x±12

2

y-8=0．
（ⅱ）由對稱性不妨設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）（k＞0）．
由

y=k(x+4) x2 16 + y2 12 =1

，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-48=0
由-4+x_M=-

32k2

3+4k2

，得xM=

12-16k2

3+4k2

，所以M(

12-16k2

3+4k2

，

24k

3+4k2

)，
所以

MA

=(

-24

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，

MB

=(

32k2

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，
所以cos∠AMB=

MA • MB

| MA |•| MB |

=

-8×24k

24 1+k2 • (32k)2+242

=-

65

65

，
化簡，得16k⁴-40k²-9=0，
解得k2=

1

4

，或k2=

9

4

，即k=

1

2

，或k=

3

2

，
此時總有y_M=3，所以△ABM的面積為

1

2

×8×3=12．

點(diǎn)評：本題考查了圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題、面積問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．