Question

4．若x＞0，y＞0，x+y=1，則$\frac{x^2}{x+2}+\frac{y^2}{y+1}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 通過換元利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：x＞0，y＞0，x+y=1，則y=1-x．
∴$\frac{x^2}{x+2}+\frac{y^2}{y+1}$=$\frac{{x}^{2}-4+4}{x+2}$+$\frac{（1-x）^{2}}{2-x}$=x-2+$\frac{4}{x+2}$+$\frac{（2-x）^{2}+2x-4+1}{2-x}$
=x-2+$\frac{4}{x+2}$+2-x-2+$\frac{1}{2-x}$=$\frac{4}{x+2}$-2+$\frac{1}{2-x}$=f（x），
f′（x）=$\frac{-4}{（x+2）^{2}}$+$\frac{1}{（2-x）^{2}}$=$\frac{（x+2）^{2}-4（x-2）^{2}}{（4-{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{-3（x-\frac{2}{3}）（x-6）}{（4-{x}^{2}）^{2}}$，0＜x＜1．
可知：當(dāng)x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$時，f（x）取得最小值為：$\frac{4}{\frac{2}{3}+2}$-2+$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查了換元方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．