已知曲線C：f（x）=x+
ax
（a＞0），直線l：y=x，在曲線C上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B．再過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點(diǎn)M，N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．則△OMN與△ABP的面積之比為
8
8
．
分析：由題意易得B的坐標(biāo)，寫(xiě)出垂線的方程聯(lián)立y=x可得A坐標(biāo)，進(jìn)而可得△ABP的面積，然后可寫(xiě)出切線的方程，進(jìn)而可得M、N的坐標(biāo)，可表示出△OMN的面積，從而求出△OMN與△ABP的面積之比．
解答：解：由題意設(shè)點(diǎn)P（x0，x0+
a
x0
），則B（0，x0+
a
x0
），
又與直線l垂直的直線的斜率為-1，故方程為y-（x0+
a
x0
）=-（x-x0）
和方程y=x聯(lián)立可得x=y=x0+
a
2x0
，故點(diǎn)A（x0+
a
2x0
，x0+
a
2x0
），
故△ABP的面積S=
1
2
|x0||x0+
a
2x0
-（x0+
a
x0
）|
=
1
2
|x0||
a
2x0
|=
1
4
a，解得a=2，
又因?yàn)閒（x）=x+
a
x
，所以f′（x）=1-
a
x2
，故切線率為k=1-
a
x
2
0
，
故切線的方程為y-（x0+
a
x0
）=（1-
a
x
2
0
）（x-x0），
令x=0，可得y=
2a
x0
，故點(diǎn)N（0，
2a
x0
），
聯(lián)立方程y=x可解得x=y=2x0，即點(diǎn)M（2x0，2x0），
故△OMN的面積為
1
2
•|
2a
x0
||2x0|=2a，
則△OMN與△ABP的面積之比為 8．
故答案為：8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，涉及三角形的面積和方程組的求解，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C：f（x）=3x2-1，C上的兩點(diǎn)A，An的橫坐標(biāo)分別為2與an（n=1，2，3，…），a1=4，數(shù)列{xn}滿(mǎn)足xn+1=
t
3
[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠
1
2
，t≠1)、設(shè)區(qū)間Dn=[1，an]（an＞1），當(dāng)x∈Dn時(shí)，曲線C上存在點(diǎn)pn（xn，f（xn）），使得點(diǎn)pn處的切線與AAn平行，
（I）建立xn與an的關(guān)系式；
（II）證明：{logt(xn-1)+1}是等比數(shù)列；
（III）當(dāng)Dn+1?Dn對(duì)一切n∈N+恒成立時(shí)，求t的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C：f（x）=x3+1，則與直線y=-
1
3
x-4垂直的曲線C的切線方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•溫州二模）已知曲線C：f（x）=x3-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）過(guò)C外一點(diǎn)A（1，0）引C的兩條切線，若它們的傾斜角互補(bǔ)，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C：f（x）=x3．
（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）；
（2）求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程．

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