Question

9．已知拋物線C：y²=4x焦點為F，點D為其準(zhǔn)線與x軸的交點，過點F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，則△DAB的面積S的取值范圍為（　�。�

• A． [5，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． [4，+∞）
• D． [2，4]

Answer 1

分析 由拋物線C：y²=4x可得焦點F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），討論直線AB的斜率不存在，求出A，B的坐標(biāo)，由三角形的面積公式計算可得；當(dāng)直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1）．與拋物線方程聯(lián)立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式可得|AB|，求出點D（-1，0）到直線AB的距離d，再利用S_△DAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|即可得出所求范圍．

解答 解：由拋物線C：y²=4x可得焦點F（1，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)AB的斜率不存在，即有AB：x=1，
A（1，2），B（1，-2），|AB|=4，S=$\frac{1}{2}$×4×2=4；
當(dāng)直線AB的斜率存在時，直線AB的方程設(shè)為：y=k（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4]}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$．
點D（-1，0）到直線AB的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△DAB=$\frac{1}{2}$•$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$＞4．
綜上可得△DAB的面積S的取值范圍為[4，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．