Question

4．分別根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程．
（1）右焦點為$F（\sqrt{5}\;，\;0）$，離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）實軸長為4的等軸雙曲線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得：雙曲線焦點在x軸上，且c=$\sqrt{5}$，由離心率公式可得a的值，結合雙曲線的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得b=a=2，分雙曲線的焦點在x軸、y軸上兩種情況討論，分別求出雙曲線的方程，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，因為右焦點為$F（\sqrt{5}\;，\;0）$，所以雙曲線焦點在x軸上，且c=$\sqrt{5}$，
又離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以a=2，
則b²=c²-a²=1，
所以所求雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1；
（2）因為實軸長為4，所以2a=4，即a=2，
所以由等軸雙曲線得b=a=2，
當焦點在x軸上時，所求雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
當焦點在y軸上時，所求雙曲線的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，注意分析雙曲線焦點的位置．