Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx-3，對于給定的實數(shù)b，f（x）在[b²，b]上有最大值M（b）和最小值m（b），記g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）；
（2）如果對任意的x∈[b²，b]，都存在符合題意b，使得-b²f（x）=|g（b）|成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運用單調(diào)性即可求得最值，進(jìn)而得到函數(shù)g（b）的解析式；
（2）根據(jù)（1）求得的結(jié)果，-x²-bx+3=|b²+b-2|，0＜b＜1，利用二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，以及絕對值函數(shù)的單調(diào)性求得值域，再由任意和存在性問題的解法，即可求出b的范圍..

解答 解：（1）f（x）=（x+$\frac{2}$）²-3-$\frac{^{2}}{4}$，
拋物線開口向上，其對稱軸方程為x=-$\frac{2}$，
由b²＜b，可得0＜b＜1，-$\frac{2}$＜0，
即有f（x）在[b²，b]上遞增，可得
m（b）=b⁴+b³-3，M（b）=2b²-3，
即有g(shù)（b）=M（b）-m（b）=2b²-b⁴-b³，（0＜b＜1）；
（2）對任意的x∈[b²，b]，
都存在符合題意b，使得-b²f（x）=|g（b）|成立，
可得-x²-bx+3=|b²+b-2|，0＜b＜1，
由0＜b＜1可得-x²-bx+3在[b²，b]遞減，
即有值域為[3-2b²，3-b⁴-b³]，
又|b²+b-2|在0＜b＜1的值域為（0，2），
由題意可得0＜3-2b²＜3-b⁴-b³＜2，
由b⁴+b³＞1，令h（b）=b⁴-b³，由h（0.8）＜1，h（0.9）＞1，
可得h（b）=1的根為t（0.8＜t＜0.9），
綜上可得b的范圍是（t，1），（0.8＜t＜0.9）．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，注意討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及任意和存在性問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，是一個易錯題，屬中檔題．