Question

1．在△ABC中，邊a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足2sinB=sinA+sinC，設(shè)B的最大值為B₀．
（Ⅰ）求B₀的值；
（Ⅱ）當(dāng)B=B₀，a=1，c=2，D為AC的中點(diǎn)時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合正弦定理把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再由余弦定理求得B₀的值；
（Ⅱ）由已知結(jié)合余弦定理求得△ABC為直角三角形，再由勾股定理得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)及正弦定理知，2b=a+c，即$b=\frac{a+c}{2}$．
由余弦定理知，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{{（\frac{a+c}{2}）}^2}}}{2ac}=\frac{{3（{a^2}+{c^2}）-2ac}}{8ac}≥\frac{3（2ac）-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，
∵y=cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，∴B的最大值${B_0}=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$B={B_0}=\frac{π}{3}，a=1，c=2$，
∴b²=a²+c²-2accosB=3，
得c²=a²+b²，∴$C=\frac{π}{2}$，
∴$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$BD=\sqrt{C{D^2}+B{C^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．