Question

已知：m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線l與α的交點(diǎn)為B，且l⊥m，l⊥n．求證：l⊥α

Answer 1

解：設(shè)直線m的方向向量為，直線n的方向向量為，直線l的方向向量為，
∵m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線
∴與是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，設(shè)平面α內(nèi)的任一向量為，由平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)λ，μ，使=λ+μ
又∵l⊥m，l⊥n，∴=0，=0
∴•==λ+μ=0
∴
∴直線l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，由線面垂直的定義得：
l⊥α
分析：證明直線與平面垂直，根據(jù)定義，需證明直線與平面內(nèi)的任一直線垂直，故可利用平面向量基本定理，將平面內(nèi)的任一向量用一組基底表示，證明當(dāng)直線與基底垂直時(shí)，就垂直于平面內(nèi)的任一向量，利用數(shù)量積運(yùn)算即可得證
點(diǎn)評：本題考查了直線與平面垂直的判定定理及其證明方法，平面向量基本定理的應(yīng)用，利用平面向量解決幾何問題的方法