14．已知函數(shù)f（x）=-x2+x+lnx+a的圖象總是在直線y=1的下方，求a的取值范圍．

分析 根據(jù)題意便得到-x2+x+lnx+a＜1在（0，+∞）上恒成立，從而得到a＜x2-x-lnx+1在（0，+∞）上恒成立，可設g（x）=x2-x-lnx+1，x∈（0，+∞），求導數(shù)$g′（x）=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，可判斷該導數(shù)在（0，+∞）上的符號，從而可求得g（x）的最小值為1，這樣即可得出a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件-x2+x+lnx+a＜1在x∈（0，+∞）上恒成立；
即a＜x2-x-lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立；
設$g（x）={x}^{2}-x-lnx+1，g′（x）=\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，x∈（0，+∞）；
∴x∈（0，1）時，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0；
∴x=1時，g（x）取最小值1；
∴a＜1；
即a的取值范圍為（-∞，1）．

點評 考查二次函數(shù)符號和對應一元二次方程根的關系，根據(jù)導數(shù)符號求函數(shù)最值的方法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{9，x≥3}\\{-{x^2}+6x，x＜3}\end{array}}\right.$，則不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集是（1，3）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，}&{x＞1}\end{array}\\ \begin{array}{l}{-{x^2}-2x+4，}&{x≤1，}\end{array}\end{array}\right.$則f（f（3））=5； f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1，+∞）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{y≥a（x-3）}\end{array}}\right.$．
（1）當a=2時，則2x+y的最小值為5；
（2）若滿足上述條件的實數(shù)x，y圍成的平面區(qū)域是三角形，則實數(shù)a的取值范圍是1＜a或a＜$-\frac{3}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$的點P（x，y）不在函數(shù)y=ax的圖象上，則實數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．若定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x1，x2∈[a，b]，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）是[a，b]上的“下凸函數(shù)”，則下列說法正確的有（　　）個
①f（x）=tanx是（0，$\frac{π}{2}$）上的“下凸函數(shù)”
②無法判斷f（x）=|x|+$\frac{1}{|x|}$在（-∞，0）上是否是“下凸函數(shù)”
③若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x∈（-∞，0]}\\{f（x-1）+1，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的“下凸函數(shù)”
④若f（x）是[a，b]上的“下凸函數(shù)”，且對任意x1，x2，…，x8∈[a，b]，則必有f（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+…+{x}_{8}}{8}$）≤$\frac{1}{8}$[f（x1）+f（x2）+…+f（x8）]．
A．1個B．2個C．3個D．4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

6．若曲線f（x）=xsinx+2在x=$\frac{π}{2}$處的切線與直線2x-ay+1=0互相垂直，則實數(shù)a等于（　�。�
A．-2B．-1C．1D．2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

3．函數(shù)y=log32x的反函數(shù)是y=$\frac{1}{2}{•3}^{x}$，x∈R．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知命題p：關于x的方程x2-ax+4=0無實根；命題q：關于x的函數(shù)y=x2-2ax+4在[1，+∞）上是增函數(shù)，若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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同步練習冊答案