Question

定長等于2

6

的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直線y=

6

2

x和y=-

6

2

x上滑動(dòng)，線段AB中點(diǎn)M的軌跡為C；
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)（0，1）的直線l與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，問：在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使得不論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，

TP

•

TQ

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M(x，y)，A(x1，

6

2

x1)，B(x2，-

6

2

x2)，|AB|=2

6

，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間距離公式可得軌跡C的方程；
（Ⅱ）若l不與y軸重合，設(shè)直線l方程為y=kx+1，代入橢圓C的方程得x的二次方程，設(shè)P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），由向量數(shù)量積運(yùn)算及韋達(dá)定理可把

TP

•

TQ

表示為t的式子，為使

TP

•

TQ

為定值，可求得t值，從而得到此時(shí)點(diǎn)T坐標(biāo)，當(dāng)l與y軸重合時(shí)易驗(yàn)證；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M(x，y)，A(x1，

6

2

x1)，B(x2，-

6

2

x2)，
則x₁+x₂=2x，x1-x2=

4y

6

，代入|AB|=

(x1-x2)2+ 6 4 (x1+x2)2

=2

6

，
得軌跡C的方程為

16y2

6

+6x2=24，即

y2

9

+

x2

4

=1；
（Ⅱ）（1）若l不與y軸重合，設(shè)直線l方程為y=kx+1，代入橢圓C的方程得（4k²+9）x²+8kx-32=0，
設(shè)P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），
則x3+x4=-

8k

4k2+9

，x3•x4=-

32

4k2+9

；
設(shè)點(diǎn)T（0，t），則

TP

•

TQ

=x₃•x₄+（kx₃+1-t）•（kx₄+1-t）
=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2
=

-32(1+k2)-8k2(1-t)+(1-t)2(4k2+9)

4k2+9

=

[-40+8t+4(1-t)2]k2+[-32+9(1-t)2]

4k2+9

，
使

TP

•

TQ

為定值，則 

-32+9(1-t)2

-40+8t+4(1-t)2

=

9

4

，
解得t=

29

9

，即對于點(diǎn)T(0，

29

9

)總有

TP

•

TQ

=

16×7

9×9

；
（2）當(dāng)l與y軸重合時(shí)，P（0，3），Q（0，-3），對于點(diǎn)T(0，

29

9

)也有

TP

•

TQ

=

16×7

9×9

，
故在y軸上存在定點(diǎn)T(0，

29

9

)使得

TP

•

TQ

為定值．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求解、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容，考查學(xué)生的探究能力及解決問題的能力．