【題目】已知向量 ,函數(shù) ,且圖象上一個最高點為與最近的一個最低點的坐標為 .
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)設為常數(shù),判斷方程在區(qū)間上的解的個數(shù);
(Ⅲ)在銳角中,若,求 的取值范圍.
【答案】(1) (2)見解析(3)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)向量數(shù)量積得,再根據(jù)配角公式得.(2)根據(jù)自變量范圍畫出函數(shù)圖像,根據(jù)正弦函數(shù)圖像確定交點個數(shù)(3)先根據(jù)條件求出銳角B,再根據(jù)銳角三角形確定角A范圍為,最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定 的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ) .
圖象上一個最高點為,與最近的一個最低點的坐標為,
,,于是. 所以.
(Ⅱ)當 時,,由圖象可知:
當時,在區(qū)間上有二解;
當或時,在區(qū)間上有一解;
當或時,在區(qū)間上無解.
(Ⅲ)在銳角中,,.
又,故,. 在銳角中,
. ,,
即的取值范圍是
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為:,當時,若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”.當時,試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”?若存在,求出轉(zhuǎn)點的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知向量 =(cosx,sinx), =( sinx,sinx),x∈R設函數(shù)f(x)= ﹣
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在[0, ]上的最大值和最小值.
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【題目】已知長為2的線段AB中點為C,當線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上運動時,C點的軌跡為曲線C1;
(1)求曲線C1的方程;
(2)直線 ax+by=1與曲線C1相交于C、D兩點(a,b是實數(shù)),且△COD是直角三角形(O是坐標原點),求點P(a,b)與點(0,1)之間距離的最小值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為,將曲線:(為參數(shù)),經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)若點的曲線上運動,試求出到直線的距離的最小值.
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【題目】某公司欲制作容積為16米3 , 高為1米的無蓋長方體容器,已知該容器的底面造價是每平方米1000元,側(cè)面造價是每平方米500元,記該容器底面一邊的長為x米,容器的總造價為y元.
(1)試用x表示y;
(2)求y的最小值及此時該容器的底面邊長.
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【題目】在△ABC中,A,B的坐標分別是 ,點G是△ABC的重心,y軸上一點M滿足GM∥AB,且|MC|=|MB|. (Ⅰ)求△ABC的頂點C的軌跡E的方程;
(Ⅱ)直線l:y=kx+m與軌跡E相交于P,Q兩點,若在軌跡E上存在點R,使四邊形OPRQ為平行四邊形(其中O為坐標原點),求m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax﹣2,g(x)=a(x﹣2a)(x+2﹣a),a∈R且a≠0.
(1)若{x|f(x)g(x)=0}={1,2},求實數(shù)a的值;
(2)若{x|f(x)<0或g(x)<0}=R,求實數(shù)a的取值范圍.
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