Question

【題目】已知長為2的線段AB中點為C，當(dāng)線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上運動時，C點的軌跡為曲線C1；
（1）求曲線C1的方程；
（2）直線 ax+by=1與曲線C1相交于C、D兩點（a，b是實數(shù)），且△COD是直角三角形（O是坐標(biāo)原點），求點P（a，b）與點（0，1）之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)C點坐標(biāo)為（x，y），則A點坐標(biāo)為（2x，0），B點坐標(biāo)為（0，2y），由|AB|=2，得（2x﹣0）2+（0﹣2y）2=4，

化簡得x2+y2=1，

所以曲線C1的方程x2+y2=1，

（2）解：由曲線C1的方程x2+y2=1可知圓心（0，0），半徑為1，

所以|OC|=|OD|=1，△COD是等腰直角三角形，|CD|= ，

圓心（0，0）到直線 ax+by=1的距離 = ，

即2a2+b2=2，

所以a2=1﹣ b2，（﹣ ≤b≤ ）

點P（a，b）與點（0，1）之間距離|OP|= = = = ，

當(dāng)b= 時，|OP|取到最小值|OP|= = ﹣1．

【解析】（1）設(shè)C點坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)中點坐標(biāo)公式，得到A點坐標(biāo)為（2x，0），B點坐標(biāo)為（0，2y），由|AB|=2，即可求出曲線C1的方程，（2）先求出，△COD是等腰直角三角形，|CD|= ，再根據(jù)點到直線的距離公式得到 = ，再由點到點的距離公式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出．