Question

如圖：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，M是CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若M是CD的中點(diǎn)，求

MA

•

MB

的值；
（2）求(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，得

MA

=

MD

+

DA

且

MB

=

MD

-

DA

，因此

MA

•

MB

=

MD

2-

DA

2，再代入題中數(shù)據(jù)即可得到

MA

•

MB

的值；
（2）設(shè)MD=x，則MC=1-x，由三角形中線的性質(zhì)化簡(jiǎn)得(

MA

+

MB

)•

MC

=2

MD

•

MC

=2x²-2x，接下來(lái)求二次函數(shù)y=2x²-2x在區(qū)間[0，1]上的最值，即可得到當(dāng)x=

1

2

時(shí)，(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值為-

1

2

．

解答：解：（1）∵CD是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，
∴CD=

1

2

AB=1，得MD=

1

2

CD=

1

2

∵

MA

=

MD

+

DA

，

MB

=

MD

+

DB

=

MD

-

DA

，
∴

MA

•

MB

=（

MD

+

DA

）（

MD

-

DA

）
=

MD

2-

DA

2=|

1

2

CD

|2-|

DA

|2=(

1

2

)2-12=-

3

4

．…（6分）
（2）設(shè)MD=x，則MC=1-x．其中0≤x≤1
∵M(jìn)D是△MAB的中線，∴

MA

+

MB

=2

MD

，
得(

MA

+

MB

)•

MC

=2

MD

•

MC

=-2|

MD

|•|

MC

|=-2x（1-x）=2x²-2x，
∵2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

∴當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)，2x²-2x的最小值為-

1

2

． …（12分）
即當(dāng)x=

1

2

時(shí)，(

MA

+

MB

)•

MC

的最小值為-

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形ABC斜邊中線上的動(dòng)點(diǎn)M，求向量數(shù)量積的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．