Question

如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

3

．點(diǎn)M，N分別在邊AB和AC 上（M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽′MN，使頂點(diǎn)A′落在邊BC上（A′點(diǎn)和B點(diǎn)不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示∠BA′M和線段AM的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出θ的取值范圍；
（2）求線段AN長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由折疊可知△AMN≌△A′MN，可得對(duì)應(yīng)角相等，∠AMN=θ，可得出∠A′MA=2θ，在直角三角形A′MB，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，即可表示∠BA′M，設(shè)MA=MA′=x，由AB=1，利用AB-AM表示出MB為1-x，Rt△MBA′中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x表示出sin（2θ-90°），求出x，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，即可表示出MA，同時(shí)由點(diǎn)M在線段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，A′點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，可得出θ的取值范圍；
（2）在直角三角形ABC中，由AB及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，可得出AC=2AB，即∠ACB為30°，得出∠BAC為60°，在三角形AMN中，∠AMN=θ，利用三角形內(nèi)角和定理表示出∠ANM，再由AM的長(zhǎng)，利用正弦定理列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)可得出AN=

1

2sinθsin(120°-θ)

，設(shè)t=2sinθsin（120°-θ），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，去括號(hào)后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式變形，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由θ的范圍求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到此時(shí)正弦函數(shù)的值域，可得出t的最大值，進(jìn)而確定出AN的最小值．

解答：解：（1）易知△AMN≌△A′MN，∴∠A′MA=2θ，
則∠A′MB=180°-2θ，∠BA′M=90°-（180°-2θ）=2θ-90°，（2分）
設(shè)MA=MA′=x，則MB=1-x，
在Rt△MBA′中，sin（2θ-90°）=-cos2θ=

1-x

x

，
∴MA=x=

1

1-cos2θ

=

1

2sin2θ

，（5分）
∵點(diǎn)M在線段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，A′點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，
∴45°＜θ＜90°；（6分）
（2）∵∠B=90°，AB=1，BC=

3

，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=2，
∴∠BAC=60°，
在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=180°-60°-θ=120°-θ，
又MA=

1

2sin2θ

，
∴根據(jù)正弦定理得：

AN

sinθ

=

MA

sin(120°-θ)

，
可得：AN=

sinθ× 1 2sin2θ

sin(120°-θ)

=

1

2sinθsin(120°-θ)

，（8分）
令t=2sinθsin（120°-θ）=2sinθ（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）
=sin²θ+

3

sinθcosθ=

1

2

+

3

2

sin2θ-

1

2

cos2θ=

1

2

+sin（2θ-30°），（11分）
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°，
當(dāng)且僅當(dāng)2θ-30°=90°，θ=60°時(shí)，t有最大值

3

2

，
則θ=60°時(shí)，AN有最小值

2

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．