Question

20．（1）已知ABCD是復平面內的平行四邊形，并且A，B，C三點對應的復數(shù)分別是3+i，-2i，-1-i，求D點對應的復數(shù)；
（2）已知復數(shù)Z₁=2，$\frac{{Z}_{2}}{{Z}_{1}}$=i，并且|z|=2$\sqrt{2}$，|z-z₁|=|z-z₂|，求z．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，利用向量相等求出D的坐標得答案；
（2）由已知求得z₂，設出z，結合|z|=2$\sqrt{2}$，|z-z₁|=|z-z₂|列方程組得答案．

解答 解：（1）∵A，B，C三點對應的復數(shù)分別是3+i，-2i，-1-i，
∴作出平行四邊形ABCD如圖：A（3，1），B（0，-2），C（-1，-1），設D（x，y），
則$\overrightarrow{AB}=（-3，-3）$，$\overrightarrow{DC}=（-1-x，-1-y）$，
由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，得x=y=2，∴D（2，2），則D點對應的復數(shù)為2+2i；
（2）∵z₁=2，$\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}$=i，∴z₂=2i，
設z=x+yi，則由|z|=2$\sqrt{2}$，|z-z₁|=|z-z₂|，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y-2）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴z=-2-2i，或z=2=2i．

點評 本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復數(shù)模的求法，是基礎題．