已知數(shù)列{an} 2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n項(xiàng)和為Sn 且a5=5,S7=28 
(1)求數(shù)列{
1Sn
}前n項(xiàng)的和Tn
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,b n+1=bn+qan(q>0)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,并比較bn•bn+2,b n+12的大。
分析:(1)利用2an+1=an+an+2(n∈N*),知{an}是等差數(shù)列,利用條件求出數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和,再利用裂項(xiàng)法求和,即可得到結(jié)論;
(2)確定數(shù)列{bn}的通項(xiàng),再作差,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)由2an+1=an+an+2(n∈N*),知{an}是等差數(shù)列,
∵a5=5,S7=28 
∴a1+4d=5,7a1+21d=28
∴a1=1,d=1,∴an=n…(3分),
Sn=
n(n+1)
2
,∴
1
Sn
=
2
n(n+1)
=
1
2
1
n
-
1
n+1

∴Tn=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=2(1-
1
n+1
)=
2n
n+1
.…(6分)
(2)∵bn+1-bn=qn
∴當(dāng)n≥2時(shí),bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+q+…+qn-1=
n,q=1
1-qn
1-q
,q≠1

當(dāng)n=1時(shí),b1=1滿足上式,故bn=
n,q=1
1-qn
1-q
,q≠1
…(9分).
當(dāng)q=1時(shí),bnbn+2-bn+12=n(n+2)-(n+1)2=-1<0,…(10分)
當(dāng)q≠1時(shí),bnbn+2-bn+12=
1-qn
1-q
1-qn+2
1-q
-(
1-qn+1
1-q
)2
=-qn<0,
所以bnbn+2bn+12…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查裂項(xiàng)法求和,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=2,n∈N+,an>0,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且滿足an+1=
2Sn+1Sn-2

(Ⅰ)求{Sn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè){bk}是{Sn}中的按從小到大順序組成的整數(shù)數(shù)列.
(1)求b3
(2)存在N(N∈N+),當(dāng)n≤N時(shí),使得在{Sn}中,數(shù)列{bk}有且只有20項(xiàng),求N的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x0)的“滯點(diǎn)”,已知函數(shù)f(x)=
x2
2x-2

(1)試問Cf(x)有無“滯點(diǎn)”?若有,求之,否則說明理由;
(2)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),且滿足4Sn•f(
1
an
)=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1an=n,n∈N*
(1)求a2,a3a4的值,并證明:an+2=
1
an+1
+an
; 
(2)證明:2
n
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
<3
n
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=
1
2
,公比q=
1
2
的等比數(shù)列.設(shè)bn+2=3log
1
2
an(n∈N*)
,數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn
(I)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(II)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-kan(k>0,n∈N*).
(1)用n、k表示an;
(2)數(shù)列{bn}對(duì)n∈N*均有(bn+1-bn+2)lga1+(bn+2-bn)lga3+(bn-bn+1)lga5=0,求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(3)在(1)、(2)中,設(shè)k=1,bn=n+1,xn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求證:xn<3.

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