Question

【題目】已知函數(shù)，．

（）當(dāng)時(shí)，證明：為偶函數(shù)；

（）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在上恒成立．

Answer 1

【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）；（）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而，說(shuō)明為偶函數(shù)；（2）在上任取、，且，則恒成立，等價(jià)于恒成立，可求得的取值范圍；（3）先證明不等式恒成立，等價(jià)于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得結(jié)果.

試題解析：（）當(dāng)時(shí)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

而，說(shuō)明為偶函數(shù)．

（）在上任取、，且，

則，

因?yàn)?/span>，函數(shù)為增函數(shù)，得，，

而在上調(diào)遞增，得，，

于是必須恒成立，

即對(duì)任意的恒成立，

∴．

（）由（）、（）知函數(shù)在上遞減，

在上遞增，其最小值，

且，

設(shè)，則，，

于是不等式恒成立，等價(jià)于，

即恒成立，

而，僅當(dāng)，

即時(shí)取最大值，故．