Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|=

3

2

|F₁F₂|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F₁，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意設(shè)橢圓右焦點F₂的坐標(biāo)為（c，0），結(jié)合|AB|=

3

2

|F₁F₂|，可得a²+b²=3c²，再結(jié)合隱含條件
b²=a²-c²得到a，c的關(guān)系式，則橢圓的離心率可求；
（2）由題意設(shè)出橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1．設(shè)P（x₀，y₀）．由F₁（-c，0），B（0，c），求得

F1P

，

F1B

的坐標(biāo)，利用

F1P

•

F1B

=0得到（x₀+c）c+y₀c=0，從而得到x₀+y₀+c=0．再由點P在橢圓上，得到

x02

2c2

+

y02

c2

=1．兩式聯(lián)立得到3x²₀+4cx₀=0．根據(jù)點P不是橢圓的頂點得到x₀=-

4

3

c．進(jìn)一步得到y(tǒng)₀=

c

3

，
再設(shè)圓的圓心為T（x₁，y₁），則x₁=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y₁=

c 3 +c

2

=

2

3

c，求出圓的半徑r再由直線l與圓相切列式求得k的值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓右焦點F₂的坐標(biāo)為（c，0）．
由|AB|=

3

2

|F₁F₂|，可得a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，則2a²=4c²，

c2

a2

=

1

2

，
∴橢圓的離心率e=

2

2

；
（2）由（1）知a²=2c²，b²=c²．故橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1．
設(shè)P（x₀，y₀）．由F₁（-c，0），B（0，c），
得

F1P

=（x₀+c，y₀），

F1B

=（c，c）．
由已知，有

F1P

•

F1B

=0，即（x₀+c）c+y₀c=0．
又c≠0，故有x₀+y₀+c=0．①
又∵點P在橢圓上，
∴

x02

2c2

+

y02

c2

=1．②
由①和②可得3x²₀+4cx₀=0．
而點P不是橢圓的頂點，故x₀=-

4

3

c．代入①得y₀=

c

3

，
即點P的坐標(biāo)為（-

4c

3

，

c

3

）．
設(shè)圓的圓心為T（x₁，y₁），則x₁=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y₁=

c 3 +c

2

=

2

3

c，
進(jìn)而圓的半徑r=

(x1-0)2+(y1-c)2

=

(- 2 3 c)2+( 2 3 c-c)2

=

5

3

c．
設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx．
由l與圓相切，可得

|kx1-y1|

k2+1

=r，即

|k(- 2 3 c)- 2 3 c|

k2+1

=

5

3

c，整理得k²-8k+1=0，解得k=4±

15

，
∴直線l的斜率為4+

15

或4-

15

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了向量在解題中的應(yīng)用，圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理能力和邏輯思維能力，是壓軸題．