Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1；等比數(shù)列{b_n}中，b₁=1．若a₃+S₃=14，b₂S₂=12
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)cn=an+2bn(n∈N*)，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．若對一切n∈N^*不等式T_n≥λ恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）由于{T_n}是遞增數(shù)列，可得T_n的最小值為T₁=3．于是T_n≥λ恒成立?（T_n）_min≥λ，即可解得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則an=1+(n-1)d，bn=qn-1，由題意得：

(1+2d)+(3+3d)=14 q(2+d)=12

，
解得

d=2 q=3

，
∴an=2n-1，bn=3n-1．
（Ⅱ）∵T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
∵{T_n}是遞增數(shù)列，∴T_n的最小值為T₁=3，
又∵T_n≥λ恒成立，
∴λ≤3，故所求的λ的最大值為3．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．