已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2=6,S5=50,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足Tn+
1
2
bn=1

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(Ⅲ)記cn=
1
4
anbn
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Rn,若Rn<λ對(duì)n∈N*恒成立,求λ的最小值.
分析:(I)利用等差數(shù)列的求和公式,結(jié)合a2=6,S5=50,求出首項(xiàng)與公差,可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)利用遞推式,再寫一式,兩式相減,可證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(Ⅲ)確定數(shù)列的通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法求和,即可求λ的最小值.
解答:(Ⅰ)解:由S5=
5(a1+a5)
2
=5a3=50
得a3=10,
又a2=6,所以d=4,a1=2,所以an=2+4(n-1),所以an=4n-2…(3分)
(Ⅱ)證明:由Tn+
1
2
bn=1
①,
令n=1,得b1=
2
3
,
當(dāng)n≥2時(shí)Tn-1+
1
2
bn-1=1

①-②得Tn-Tn-1+
1
2
(bn-bn-1)=0
,整理得bn=
1
3
bn-1(n≥2)

故{bn}是以b1=
2
3
為首項(xiàng),
1
3
為公比的等比數(shù)列.…(8分)
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知bn=2(
1
3
)n
,故cn=
1
4
(4n-2)×2(
1
3
)n=
2n-1
3n

所以Rn=
1
3
+
3
32
+
5
33
+…+
2n-1
3n
,兩邊同乘以
1
3
1
3
Rn=
1
32
+
3
33
+…+
2n-3
3n
+
2n-1
3n+1

兩式相減得
2
3
Rn=
1
3
+
2
32
+
2
33
+…+
2
3n
-
2n-1
3n+1
=
1
3
+
2
32
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
-
2n-1
3n+1
=
2
3
-
1
3n
-
2n-1
3n+1

所以Rn=1-
3
2•3n
-
2n-1
2•3n
=1-
n+1
3n
<1
恒成立,故λ≥1,所以λ的最小值為1.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查恒成立問題,確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵.
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