Question

過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A，B在x軸上的正射影分別為D，C．若梯形ABCD的面積為12

2

，則P=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程得出其焦點(diǎn)坐標(biāo)和過焦點(diǎn)斜率為1的直線方程，設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而用A，B坐標(biāo)表示出梯形的面積建立等式求得p．

解答：解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，

p

2

），則過焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為y=x+

p

2

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₂＞x₁），由題意可知y₁＞0，y₂＞0
由

y=x+ p 2 x2=2py

，消去y得x²-2px-p2=0，
由韋達(dá)定理得，x₁+x₂=2p，x₁x₂=-p²
所以梯形ABCD的面積為：S=

1

2

（y₁+y₂）（x₂-x₁）=

1

2

（x₁+x₂+p）（x₂-x₁）=

1

2

•3p

( x1+x2)  2-4x1x2

=3

2

p²
所以3

2

p²=12

2

，又p＞0，所以p=2
故答案為2．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查考生的運(yùn)算能力，屬中檔題