Question

　　(1)求證：如果一個平面經(jīng)過一條線段的中點(diǎn)，那么這條線段的兩個端點(diǎn)到平面的距籬相等；

　　(2)求證：空間四邊形的兩條對角線到這空間四邊形各邊中點(diǎn)所在平面的距離相等．

Answer 1

答案：
解析：

證明 (1)如圖，O是線段AB的中點(diǎn)，且O∈平面α． 　　作⊥α，⊥α，為垂足，則分別是A，B到平面α的距離，且確定平面β，β∩α=．∵O∈AB，ABβ，∴O∈β；又O∈α，∴O∈．∵⊥α，⊥α，∴⊥，∵∠=∠=，，AO=BO，∴△，∴，即線段AB的兩個端點(diǎn)到平面α的距離相等． 　　進(jìn)而可以知道，若AB，AC，AD是空間不共面的三條線段，則A，B，C，D四點(diǎn)到線段AB，AC，AD的中點(diǎn)確定的平面的距離相等． 　　(2)如圖，設(shè)E，F(xiàn)，G，H依次是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，我們已證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． 　　∵EF和EH分別是△ABC和△ABD的中位線， 　　∴AC∥EF，BD∥EH． 　　∵AC，BD都在平面EFGH外， 　　∴AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH． 　　A到平面EFGH的距離就是AC到平面EFGH的距離，B到平面EFGH的距離就是BD到平面EFGH的距離． 　　∵平面EFGH經(jīng)過AB的中點(diǎn)E，∴A，B到平面EFGH的距離相等． 　　故AC，BD到平面EFGH的距離也相等． 　　進(jìn)而可以得到A，B，C，D到平面EFGH的距離也相等． 　　求距離是立體幾何中一類重要的計(jì)算問題，在求解這類計(jì)算題時一般需要有三個步驟： 　　(1)作圖：即作出長度表示距離的線段； 　　(2)證明：即證明所作線段的長就是所求的距離； 　　(3)計(jì)算：根據(jù)已知條件計(jì)算出所作線段的長度得出所求的距離．