Question

（本小題滿分14分）

　　　已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x₁

（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）記f(x)在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為b_x令a_n=ln(1+n)-b_x。

（�。┤绻麑�(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（ⅱ）求證： 。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）-1<x<0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；x>0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.

（Ⅱ）（�。�（-，1）

（ⅱ）證明見(jiàn)解析。

【解析】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分14分.

解法一：

（I）因?yàn)?i>f(x)=ln(1+x)-x，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?1,+）,且f〃(x)=-1=.

由f〃(x)>0得-1<x<0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；

由f〃(x)<0得x>0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.

(II)因?yàn)?i>f(x)在[0,n]上是減函數(shù)，所以b_n=f(n)=ln(1+n)-n,

則a_n=ln(1+n)-b_n=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

>

又lim,

因此c<1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-，1）.

（ⅱ）由（i）知

因?yàn)閇]²

=

所以＜(nN^*),

則＜

N*）

 

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因?yàn)?i>f(x)在上是減函數(shù)，所以

　　　則

（i）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811304290625262/SYS201205181131508281681289_DA.files/image020.png">對(duì)n∈N*恒成立.所以對(duì)n∈N*恒成立.

　　則對(duì)n∈N*恒成立.

　　設(shè) n∈N*，則c＜g(n)對(duì)n∈N*恒成立.

　　考慮

　　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811304290625262/SYS201205181131508281681289_DA.files/image025.png">＝0，

　　所以內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)n∈N*時(shí)，g(n)隨n的增大而減小，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811304290625262/SYS201205181131508281681289_DA.files/image027.png">＝1.

所以對(duì)一切因此c≤1,即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-∞，1].

(ⅱ) 由(ⅰ)知

     下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

     ①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝，右邊＝，左邊<右邊.不等式成立.

     ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立.即

當(dāng)n=k+1時(shí)，

 

=

即n＝k＋1時(shí)，不等式成立

綜合①、②得，不等式成立.

所以

即.