Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，直線l：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)．設(shè)直線l₁的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用直線l：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切，求出b的值，利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，即可求出a，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．設(shè)l₁的方程為y=kx+2（k＞0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合(

PG

+

PH

)•

GH

=0，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由e2=

1

2

=

a2-b2

a2

，得a2=2b2，…（3分）
∵直線y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b，解得b=

2

，則a²=4．（5分）
故所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（6分）
（Ⅱ）在x軸上存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．…（7分）
理由如下：
設(shè)l₁的方程為y=kx+2（k＞0），
由

x2 4 + y2 2 =1 y=kx+2

，得(1+2k2)x2+8kx+4=0
∵直線l₁與橢圓C有兩個交點(diǎn)，
∴△=64k²-16（1+2k²）=16（2k²-1）＞0
∴k2＞

1

2

，
又∵k＞0，∴k＞

2

2

．
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則x1+x2=

-8k

1+2k2

．（9分）
∴

PG

+

PH

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4），

GH

=(x2-x1， y2-y1)=(x2-x1， k(x2-x1))．
由于等腰三角形中線與底邊互相垂直，則(

PG

+

PH

)•

GH

=0．（10分）
∴（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0．
即(x2-x1)[(1+k2)(x1+x2)+4k-2m]=0
∵k＞0，∴x₂-x₁≠0，
∴（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0，
∴(1+k2)(

-8k

1+2k2

)+4k-2m=0，解得m=

-2

1 k +2k

設(shè)y=

1

k

+2k，當(dāng)k＞

2

2

時，y′=-

1

k2

+2=

2k2-1

k2

＞0，
∴函數(shù)y=

1

k

+2k在(

2

2

，+∞)上單調(diào)遞增，
∴y＞

1

2 2

+2×

2

2

=2

2

，（12分）
∴m=

-2

y

＞

-2

2 2

=-

2

2

（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．