Question

一次研究性課堂上，老師給出函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

，甲、乙、丙三位同學(xué)在研究此函數(shù)的性質(zhì)時分別給出下列命題：
甲：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
乙：函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
丙：若x₁≠x₂則一定有f（x₁）≠f（x₂）
你認(rèn)為上述三個命題中正確的個數(shù)有

 

個．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：首先，求解函數(shù)的定義域，然后，借助于f（-x）和f（x）之間的關(guān)系，判斷奇偶性；然后，借助于絕對值的幾何意義，求解函數(shù)的值域問題；最后，借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷丙的說法正誤．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=

-x

1+|x|

=-f(x)，∴，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以，甲的說法是錯誤的；
f(x)=

x 1+x ， x≥0 x 1-x ，x＜0

，
當(dāng)x≥0時，f(x)=

x

1+x

=

x+1-1

x+1

=1-

1

1+x

，
∴0≤f（x）＜1，
當(dāng)x＜0時，f(x)=-

x

x-1

=-

x-1+1

x-1

=-1-

1

x-1

，
∴-1＜f（x）＜0，
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；所以，乙的說法正確；
對于丙的說法：函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：
取任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=

1

1+x2

-

1

1+x1

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

∴x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，
同理，可以證明函數(shù)在（-∞，0）上為增函數(shù)，
∴丙的說法是正確的，
∴正確的說法只有乙和丙，
故答案為2，

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性等知識，考查比較綜合，屬于中檔題，難度中等．