Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AF}$=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的值是（　　）

• A． 2-$\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據題意，可分別以邊AB，AD所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，然后可得出點A，B，E的坐標，并設F（x，2），根據$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}=\sqrt{2}$即可求出x值，從而得出F點的坐標，從而求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$的值．

解答 解：據題意，分別以AB、AD所在直線為x，y軸，
建立如圖所示平面直角坐標系，則：
A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，1），設F（x，2）；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}=（\sqrt{2}，0）•（x，2）=\sqrt{2}x=\sqrt{2}$；
∴x=1；
∴F（1，2），$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{2}，1），\overrightarrow{BF}=（1-\sqrt{2}，2）$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=\sqrt{2}-2+2=\sqrt{2}$．
故選C．

點評 考查通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，向量數量積的坐標運算．