Question

1．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一個短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則橢圓在其上一點(diǎn)A（m，n）處的切線方程為$\frac{mx}{{a}^{2}}$+$\frac{ny}{^{2}}$=1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：
（i）如圖（1），點(diǎn)P為C₁在第一象限中的任意一點(diǎn)，過P作C₁的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最小值；
（ii）如圖（2），已知圓C₂：x²+y²=1的切線與橢圓C₁交于M、N兩點(diǎn)，又橢圓C₁在M、N兩點(diǎn)處的切線l₁、l₂相交于點(diǎn)T，若$E（-2\sqrt{3}，0），F(xiàn)（2\sqrt{3}，0）$，求證：|TE|+|TF|為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和基本量a，b，c的關(guān)系，解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）（i）設(shè)P（2cosα，$\sqrt{2}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），求得切線的方程，分別令x=0，y=0，可得y軸、x軸上的截距，再由三角形的面積公式，結(jié)合二倍角公式和正弦函數(shù)的最值，可得最小值；
（ii）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求得M，N處橢圓的切線方程，設(shè)T（m，n），代入切線方程，運(yùn)用兩點(diǎn)確定一條直線，可得切點(diǎn)弦方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，可得T的軌跡方程，即為橢圓，再由橢圓的定義，即可得證．

解答 解：（1）橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
一個短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，a²-b²=c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
則橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）（i）設(shè)P（2cosα，$\sqrt{2}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
則切線l的方程為$\frac{2cosαx}{4}$+$\frac{\sqrt{2}sinαx}{2}$=1，
即為xcosα+$\sqrt{2}$ysinα-2=0，
由x=0，可得y=$\frac{2}{\sqrt{2}sinα}$；y=0，可得x=$\frac{2}{cosα}$．
即有△OAB面積為S=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{\sqrt{2}sinα}$•$\frac{2}{cosα}$=$\frac{4}{\sqrt{2}sin2α}$≥$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)2α=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$時，S取得最小值2$\sqrt{2}$；
（ii）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得M，N點(diǎn)處的切線方程為$\frac{{x}_{1}x}{4}$+$\frac{{y}_{1}y}{2}$=1，
$\frac{{x}_{2}x}{4}$+$\frac{{y}_{2}y}{2}$=1，
設(shè)T（m，n），可得$\frac{m{x}_{1}}{4}$+$\frac{n{y}_{1}}{2}$=1，$\frac{m{x}_{2}}{4}$+$\frac{n{y}_{2}}{2}$=1，
由兩點(diǎn)確定一條直線，可得切點(diǎn)弦MN的方程為$\frac{mx}{4}$+$\frac{ny}{2}$=1，
即為mx+2ny-4=0．
由MN與圓O相切，可得$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}}$=1，
化簡可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
即為T的軌跡方程，顯然為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
由$E（-2\sqrt{3}，0），F(xiàn)（2\sqrt{3}，0）$，即為橢圓的兩焦點(diǎn)，
由橢圓的定義可得|TE|+|TF|為定值，且為長軸長2×4=8．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查橢圓的切線的方程和應(yīng)用，同時考查切點(diǎn)弦方程的求法，直線和圓相切的條件：d=r，考查軌跡方程的求法和橢圓的定義的運(yùn)用，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．