Question

13．已知$\frac{1}{tanα}$+tanα=$\frac{5}{2}$，則2sin²（3π-α）-3cos（$\frac{π}{2}$+α）•sin（$\frac{3π}{2}$-α）+2的值為$\frac{12}{5}$或$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由已知方程可解得tanα，由三角函數公式弦化切可得要求的式子為關于tanα的式子，代值計算可得．

解答 解：∵$\frac{1}{tanα}$+tanα=$\frac{5}{2}$，∴2tan²α-5tanα+2=0，
解得tanα=2或tanα=$\frac{1}{2}$
∴2sin²（3π-α）-3cos（$\frac{π}{2}$+α）•sin（$\frac{3π}{2}$-α）+2
=2sin²α-3（-sinα）•（-cosα）+2
=2sin²α-3sinαcosα+2sin²α+2cos²α
=4sin²α-3sinαcosα+2cos²α
=$\frac{4si{n}^{2}α-3sinαcosα+2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{4ta{n}^{2}α-3tanα+2}{ta{n}^{2}α+1}$，
分別把tanα=2，tanα=$\frac{1}{2}$代入計算可得原式=$\frac{12}{5}$或$\frac{6}{5}$
故答案為：$\frac{12}{5}$或$\frac{6}{5}$

點評 本題考查三角函數恒等變換，弦化切是解決問題的關鍵，屬中檔題．