Question

在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）設(shè)平面PAB∩平面PCD=m，求證：CD∥m；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）設(shè)點Q為線段PB上一點，且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的傳遞性即可找出兩個平面的交線并且證明結(jié)論；
（Ⅱ）利用已知條件先證明BD⊥AC，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；
（Ⅲ）通過結(jié)論空間直角坐標系，利用法向量與斜線所成的角即可找出Q點的位置．
解答：解：（Ⅰ）如圖所示，過點B作BM∥PA，并且取BM=PA，連接PM，CM．
∴四邊形PABM為平行四邊形，∴PM∥AB，
∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM為平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．
（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得
BD==，AC=．
∵AB∥DC，∴，
∴，．
∴OD²+OC²==4=CD²，
∴OC⊥OD，即BD⊥AC；
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），
B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．
∴，
設(shè)，則Q（4λ，0，4-4λ），∴．
，由（2）可知為平面PAC的法向量．
∴==，
∵直線QC與平面PAC所成角的正弦值為，
∴=，
化為12λ=7，解得．
∴=．
點評：熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、平行線的傳遞性、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理及法向量與斜線所成的角是解題的關(guān)鍵．