已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；    （Ⅱ）過點Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線x=-4于點E，且
AQ
=λ
QB
，
AE
=μ
EB
．求證：λ+μ為定值，并計算出該定值．
（Ⅰ）由條件得
2b2
a
=1
2b=a
?
a=2
b=1
，所以方程為
x2
4
+y2=1
（Ⅱ）易知直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1y1），B（x2，y2），E（-4，y0）
由
y=k(x+1)
x2
4
+y2=1
?(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
△=48k2+16＞0
x1+x2=-
8k2
1+4k2
，x1x2=
4k2-4
1+4k2

由
AQ
=λ
QB
?(-1-x1，-y1)=λ(x2+1，y2)即
-(x1+1)=λ(x2+1)(1)
y1=-λy2

AE
=μ
EB
?(-4-x1，y0-y1)=μ(x2+4，y2-y0)即
-(x1+4)=μ(x2+4)(2)
y0-y1=μ(y2-y0)

由（1）λ=
x1+1
x2+1
，由（2）μ=
x1+4
x2+4

∴λ+μ=-
(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)
(x2+1)(x2+4)
=-
2x1x2+5(x1+x2)+8
(x2+1)(x2+4)

將x1+x2=-
8k2
1+4k2
，x1x2=
4k2-4
1+4k2
代入有∴λ+μ=-
8k2-8
1+4k2
-
40k2
1+4k2
+8
(x2+1)(x2+4)
=-
8k2-8-40k2+8+32k2
1+4k2
(x2+1)(x2+4)
=0
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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