Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，點P為棱D₁D的中點，且∠EOD=45°，AA₁=2a，AB=a．
（1）Q是BB₁上一點，且BQ=

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 a，求證：DQ⊥平面EAC；
（2）試判斷BP是否平行于平面EAC，并說明理由；
（3）若點M在側面BB₁C₁C及其邊界上運動，并且總保持AM⊥BP，試確定動點M所在位置．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）充分利用正四棱錐的性質可以證明AC⊥平面BD₁．再利用線面垂直的性質 得到AC⊥DQ，進一步得到所證；
（2）BP不平行于平面EAC．利用反證法證明．
（3）取BB₁中點G，連接CG，則M∈CG．由（1）知BP⊥AC，又取AA₁、CC₁中點R、S，連接PR、RG、GS、SP．
易證CG⊥平面BSP．得到CG⊥BP．于是BP⊥平面ACG．∴M∈CG

解答： （1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，
∴AC⊥BD且AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面BD₁．
又DQ⊆平面BD₁，
∴AC⊥DQ．
又在Rt△EDO中，∠EOD=45°，OD=

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a，
∴DE=

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a．
又BQ=

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 a=BD，可得DQ⊥OE，
∴DQ⊥平面EAC．--------（4分）
（2）解：BP不平行于平面EAC．理由如下：
若BP∥平面EAC，又BP⊆DPB，平面DPB∩平面EAC=OE，∴BP∥OE．
又O為BD中點，則E為DP中點，這與DP=a，DE=

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a矛盾，------------（9分）
（3）如圖，取BB₁中點G，連接CG，則M∈CG．
證明如下：
由（1）知BP⊥AC，又取AA₁、CC₁中點R、S，連接PR、RG、GS、SP．
可知ABCD-RGSP為正方體，易證CG⊥平面BSP．
∴CG⊥BP．
則BP⊥平面ACG．∴M∈CG．---------（14分）

點評：本題考查了線面平行和垂直的判定定理和性質定理的運用，關鍵是將所證轉化為線線問題解答，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．