Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，E是橢圓C上的一點(diǎn)，滿足OE=OF₁+

2

2

OB，且△EF₁F₂的周長(zhǎng)為2（

2

+1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M是線段OF₂上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F₂且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，若△MPQ是以M為頂點(diǎn)的等腰三角形，求點(diǎn)M到直線l距離的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知F₁（-xc，0），設(shè)B（0，b），則E（-c，

2

2

b），

c

a

=

2

2

，2a+2c=2+2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0），（0＜m＜1），直線l的方程為y=k（x-1），k≠0，由

y=k(x-1) x2+2y2=2

，得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)M到直線距離的取值范圍．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）由已知F₁（-xc，0），設(shè)B（0，b），即

OF1

=（-c，0），

OB

=（0，b），
∴

OE

=（-c，

2

2

b），即E（-c，

2

2

b），
∴

c2

a2

+

1 2 b2

b2

=1，得

c

a

=

2

2

，①…（2分）
又△PF₁F₂的周長(zhǎng)為2（

2

+1），
∴2a+2c=2+2

2

，②…（4分）
又①②得：c=1，a=

2

，∴b=1，
∴所求橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1．…（5分）
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0），（0＜m＜1），直線l的方程為y=k（x-1），k≠0，
由

y=k(x-1) x2+2y2=2

，消去y，得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點(diǎn)為N（x₀，y₀），
則x1+x2=

4k2

1+2k2

，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+2k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

2k2

1+2k2

，y0=

y1+y2

2

=

-k

1+2k2

，
即N（

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

），…（8分）
∵△MPQ是以M為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴MN⊥PQ，
即

k2

m(1+2k2)-2k2

=-1，
∴m=

k2

1+2k2

=

1

2+ 1 k2

∈（0，

1

2

），…（10分）
設(shè)點(diǎn)M到直線l：kx-y-k=0距離為d，
則d²=

k2(m-1)2

k2+1

=

k2(k2+1)

(1+2k2)2

＜

1 4 (k2+k2+1)2

(1+2k2)2

=

1

4

，
∴d∈（0，

1

2

），
即點(diǎn)M到直線距離的取值范圍是（0，

1

2

）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．