Question

10．對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f（x）的“等域區(qū)間”
（1）布林函數(shù)$f（x）=\sqrt{x}$的等域區(qū)間是：[0，1]
（2）若函數(shù)$f（x）=k+\sqrt{x+2}$是布林函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是：$（{-\frac{9}{4}，-2}）$．

Answer 1

分析 （1）由題意，x=$\sqrt{x}$可得x=0或x=1，可得布林函數(shù)$f（x）=\sqrt{x}$的等域區(qū)間；
（2）由f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是增函數(shù)，結(jié)合布林函數(shù)的概念可得，則存在實數(shù)a，b（-2≤a＜b），使$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，由此可得a，b是方程x=k+$\sqrt{x+2}$的兩個實數(shù)根，從而方程k=x-$\sqrt{x+2}$有兩個不等實根，令$\sqrt{x+2}$=t換元后結(jié)合圖象得答案．

解答 解：（1）由題意，x=$\sqrt{x}$可得x=0或x=1，∴布林函數(shù)$f（x）=\sqrt{x}$的等域區(qū)間是[0，1]；
（2）∵$f（x）=k+\sqrt{x+2}$是增函數(shù)，
∴$f（x）=k+\sqrt{x+2}$是布林函數(shù)，
則存在實數(shù)a，b（-2≤a＜b），使$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=k+\sqrt{a+2}}\\{b=k+\sqrt{b+2}}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程x=k+$\sqrt{x+2}$的兩個實數(shù)根，
從而方程k=x-$\sqrt{x+2}$有兩個不等實根，
令$\sqrt{x+2}$=t，則k=t²-t-2（t≥0），
如圖，
當(dāng)t=0時，k=-2；當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，k=-$\frac{9}{4}$．
由圖可知，當(dāng)-$\frac{9}{4}$＜k≤-2時，直線y=k與曲線y=t²-t-2（t≥0）有兩個不同交點．
即方程k=x-$\sqrt{x+2}$有兩個不等實根．
∴實數(shù)k的取值范圍是$（{-\frac{9}{4}，-2}）$．
故答案為：[0，1]；$（{-\frac{9}{4}，-2}）$．

點評 本題是新概念題，考查了方程的根與函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)的值域，是中檔題．