Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=2，且點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲線x²-y²=2n上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整數(shù)n，使得T_n=3？若存在，求出n的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲線x²-y²=2n上．可得S_n-S_n-1=2n，即可得出．
（2）由（1）得$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲線x²-y²=2n上．
∴S_n-S_n-1=2n，
（n≥2），即a_n=2n．
又aa₁=2也適合上式，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n（n∈N^*）．
（2）由（1）得$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減，得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$＜3．
即不存在正整數(shù)n，使得T_n=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．