Question

8．（1）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部為2，求復(fù)數(shù)z；
（2）求函數(shù)f（x）=e^x、直線x=2及兩坐標軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R）由已知條件得a²+b²=2，z²=a²-b²+2abi，結(jié)合z²的虛部為2，求復(fù)數(shù)z；
（2）本題要求的是一個旋轉(zhuǎn)體的體積，看清組成圖形的最主要的曲線，和組成圖形的兩個端點處的數(shù)據(jù)，用定積分寫出體積的表示形式，得到結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R）由已知條件得a²+b²=2，z²=a²-b²+2abi
∵z²的虛部為2，∴2ab=2，
∴a=b=1或a=b=-1，
即z=1+i或z=-1-i．（5分）
（2）f（x）=e^x、直線x=2及兩坐標軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積是
${∫}_{0}^{2}$π（e^x）²dx=$\frac{π}{2}{e}^{2x}{|}_{0}^{2}$=$\frac{π}{2}（{e}^{4}-1）$…（10分）

點評 本題考查復(fù)數(shù)的運算，考查用定積分求幾何體的體積，屬于中檔題．