Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，下列判斷正確的是

 

①．滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點  ②．滿足λ+μ=1的點P有且只有兩個  ③．λ+μ的最大值為3   ④．λ+μ的最小值不存在．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標系，對于①②③④四個選項逐一分析、判斷即可．

解答： 解：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標系，
則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），
所以中

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
對于①：當(dāng)λ=μ=1時，

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（0，1），此時點P與D重合，滿足λ+μ=2，但P不是BC的中點，故①錯誤；
對于②：當(dāng)λ=1，μ=0時，

AP

=（1，0），此時點P與B重合，滿足λ+μ=1，
當(dāng)λ=

1

2

，μ=

1

2

時，

AP

=（0，

1

2

），此時點P為AD的中點，滿足λ+μ=1，
故滿足λ+μ=1的點有且只有兩個，故②正確；
對于③：當(dāng)P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
綜上可得0≤λ+μ≤3，故C正確，
對于④：由③知，0≤λ+μ≤3，λ+μ的最小值為0，故④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查平面向量的坐標運算，考查分析、運算與推理能力，屬于難題．