Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-|x|，x≤2\\{（{x-2}）^2}，x＞2\end{array}\right.$，函數(shù)$g（x）=\frac{2}-f（2-x）$，其中b∈R，若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有4個零點，則b的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{7}{8}，+∞）$
• B． $（\frac{7}{4}，2）$
• C． $（\frac{7}{8}，1）$
• D． $（\frac{7}{2}，4）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=f（x）-g（x）的表達式，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+f（2-x），作出函數(shù)h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵g（x）=$\frac{2}$-f（2-x），
∴y=f（x）-g（x）=f（x）-$\frac{2}$+f（2-x），
由f（x）-$\frac{2}$+f（2-x）=0，得f（x）+f（2-x）=$\frac{2}$，
設(shè)h（x）=f（x）+f（2-x），
若x≤0，則-x≥0，2-x≥2，
則h（x）=f（x）+f（2-x）=2+x+x²，
若0≤x≤2，則-2≤-x≤0，0≤2-x≤2，
則h（x）=f（x）+f（2-x）=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2，
若x＞2，-x＜-2，2-x＜0，
則h（x）=f（x）+f（2-x）=（x-2）²+2-|2-x|=x²-5x+8．
作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：

當x≤0時，h（x）=2+x+x²=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
當x＞2時，h（x）=x²-5x+8=（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
故當$\frac{2}$=$\frac{7}{4}$時，h（x）=$\frac{2}$，有兩個交點，
當$\frac{2}$=2時，h（x）=$\frac{2}$，有無數(shù)個交點，
由圖象知要使函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有4個零點，
即h（x）=$\frac{2}$恰有4個根，
則滿足$\frac{7}{4}$＜$\frac{2}$＜2，解得：b∈（$\frac{7}{2}$，4），
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．